考研数学：函数连续与间断，谁说了算？|考研数学-pg电子游戏官网

    连续是我们微积分学中，对极限的 个应用。从它字面意思或是深入到几何意义就是说，函数的图像是连续不断的。在考研中，连续会在选择填空中单独考察或与其他函数知识结合综合考察，在大题中对于函数连续的考察也很多见。

    首先，所谓连续即“极限值=函数值”，这一个等式包含了三个方面，1、函数必须在该点处有定义;2、函数必须在这个点附近存在极限;3、是前面1、2两点的内容必须相等，同时满足这三个条件，才叫做函数在某点处连续。看到，判断函数连续，要先求极限，所以，如何求函数在该点处的极限值或是用极限存在的充要条件(左右极限存在且相等)，是一个隐含的知识点。
　　其次，我们自然会问，会不会有不连续的点呢?答案当然是肯定的，不连续的点就是我们所说的---间断点。那么所谓“不连续”就是不能同时满足连续的三个条件的点，即1、函数在该点处没有定义;2、若函数在该点有定义，但函数在该点附近的极限不存在;3、虽然函数在该点处有定义，极限也存在，但是二者不相等。
　　对于间断点，根据左右极限存在与否，我们把它分为两类。若左右极限都存在的间断点，称为 类间断点;若左右极限相等，这个间断点称为 类间断点中的可去间断点;若左右极限不相等，这个间断点称为 类间断点中的跳跃间断点。若左右极限中至少有一个不存在(包含极限等于无穷的情形)的间断点，称为第二类间断点;若其中一个极限是趋于无穷的，这个间断点就称为无穷间断点;若极限是在两个常数之间来回振荡的，就称为振荡间断点。
　　 后，对于连续性 重要的应用或者是说考研中的一个小难点，就是闭区间上连续函数的三个性质： 小值定理、零点定理、介值定理。
　　对于上面的知识点，我们看看在考研中是怎么考察的。对于连续的概念，难度上属于简单知识点。首先，在十五年前，对于连续性的考查，更多的是给一个分段函数，然后判断分段点处函数的连续性，这是一个基本题型，只需判断连续的三个条件即可，其实主要是考查求函数某点处左右极限的值。然后，进入20世纪，考查又倾向于在选择题当中，给一个函数，让大家来判断这个函数有多少间断点，间断点的类型是什么，这个又比之前考查的更高一层。 后，就是在逻辑推理题中，考查零点定理，介值定理，通常，考查介值定理的时候也会用到 值定理。我们归纳题型知道，判断方程根的情况的时候，一般用零点定理;题干中包含好几个函数值相加的时候，一般用介值定理。具体在证明题中怎么用，我们会在专门的证明题专题中讲解。
　　上面是对连续概念本身做出的分析。还有连续与极限存在，可导，可微的关系也是选择题中考查的热点，这个我们在后续一元函数导函数中详细说明。